Question

【题目】如图，三棱柱的棱长均为2，O为AC的中点，平面A'OB⊥平面ABC，平面⊥平面ABC.

（1）求证：A'O⊥平面ABC；

（2）求二面角A﹣BC﹣C'的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由已知可得AC⊥BO，平面A'OB⊥平面ABC，可证AC⊥平面BOA′，进而证明AC⊥A′O，再由面⊥平面ABC.，即可证明结论；

（2）以O为原点建立空间直角坐标系，求出坐标，求出平面法向量坐标，取平面ABC的法向量为（0，0，1），根据空间向量面面角公式，即可求解.

（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A'B'C'的棱长均为2，

O为AC的中点，∴AC⊥BO，

∵平面A'OB⊥平面ABC，平面A'OB∩平面ABC＝OB，

平面ABC，∴AC⊥平面BOA′，

平面BOA′，∴AC⊥A′O，

∵平面AA'C'C⊥平面ABC，平面AA'C'C∩平面ABC＝AC.

平面，∴A'O⊥平面ABC.

（2）解：由（1）得A'O⊥平面ABC，因为平面ABC，所以A'O⊥.

以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA′为z轴，

建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（，0，0），

C（0，1，0），C′（0，2，），

（，1，0），（，2，），

设平面BCC′的法向量（x，y，z），

则，

取x＝1，则，得（1，，﹣1），

平面ABC的法向量（0，0，1），

.

∴二面角A﹣BC﹣C'的余弦值为.