Question

2．已知长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=2；
（1）求出异面直线AC'和BD所成角的余弦值；
（2）找出AC'与平面D'DBB'的交点，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系，求出两条线段的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．
（2）连接BD'，DB'交于点O，则点O即为AC'与平面D'DBB'的交点，根据长方体的性质，可得结论．

解答 解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，

∵AB=4，AD=3，AA'=2；
∴C'（4，3，2），B（4，0，0），D（0，3，0）
则：$\overrightarrow{{AC′}^{\;}}$=（4，3，2），$\overrightarrow{BD}$=（-4，3，0）
异面直线AC'和BD所成角的余弦值为：$\frac{|\overrightarrow{{AC′}^{\;}}•\overrightarrow{BD}|}{\left|\overrightarrow{{AC′}^{\;}}\right|•\left|\overrightarrow{BD}\right|}$=$\frac{7}{\sqrt{29}•5}$=$\frac{7\sqrt{29}}{145}$；
（2）连接BD'，DB'交于点O，则点O即为AC'与平面D'DBB'的交点，

根据长方体的几何特征可得：
O为长方体ABCD-A'B'C'D'外接球的球心，
AC'为长方体ABCD-A'B'C'D'外接球的直径，
故O为AC'中点，
又由BD'，DB'交于点O，故O在平面D'DBB'上，
故O即为AC'与平面D'DBB'的交点．

点评 本题考查的知识点是空间直线与直线，直线与平面的位置关系，异面直线的夹角，难度中档．