Question

【题目】探究与发现：为什么二次函数的图象是抛物线？我们知道，平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线，这是抛物线的定义，也是其本质特征因此，只要说明二次函数的图象符合抛物线的本质特征，就解决了为什么二次函数的图象是抛物线的问题进一步讲，由抛物线与其方程之间的关系可知，如果能用适当的方式将转化为抛物线标准方程的形式，那么就可以判定二次函数的图象是抛物线了．下面我们就按照这个思路来展开．对二次函数式的右边配方，得．由函数图象平移一般地，设是坐标平面内的一个图形，将上所有点按照同一方向，移动同样的长度，得到图形，这一过程叫作图形的平移的知识可以知道，沿向量平移函数的图象如图，函数图象的形状、大小不发生任何变化，平移后图象对应的函数解析式为，我们把它改写为的形式方程，这是顶点为坐标原点，焦点为的抛物线．这样就说明了二次函数的图象是一条抛物线．

请根据以上阅读材料，回答下列问题：

由函数的图象沿向量平移，得到的图象对应的函数解析式为，求的坐标；

过抛物线的焦点F的一条直线交抛物线于P、Q两点若线段PF与QF的长分别是p、q，试探究是否为定值？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4

【解析】

（1）将配方成，根据图像变换的知识，可求得.（2）求出抛物线的焦点坐标和准线方程，设出直线的方程，联立直线方程和抛物线的方程，消去，得到关于的一元二次方程，由此写出韦达定理，根据抛物线的定义求得的表达式，代入化简后可求得为定值.

解：，

．

由可得，故F，抛物线的准线方程为．

设直线PQ的斜率为k，则直线PQ的方程为，

联立方程组，消去x可得：，

设，，则，，

由抛物线的定义可知：，，

．

即为定值4．