Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁，CD的中点，求证：平面ADE⊥平面A₁FD₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知得AD⊥平面DCC₁D₁，从而AD⊥D₁F，取AB中点G，由已知条件推导出A₁G⊥AE，从而D₁F⊥AE，进而D₁F⊥平面ADE，由此能证明平面A₁FD₁⊥平面ADE．

解答： 证明：因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
所以AD⊥平面DCC₁D₁，
又D₁F?平面DCC₁D₁，所以AD⊥D₁F，
取AB中点G，
连接A₁G、FG，因为F为CD中点，
所以FG

∥ .

.

AD

∥ .

.

A₁D₁，所以A₁G∥D₁F，
因为E是BB₁中点，所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE，
所以∠AA₁G=∠HAG，∠AHA₁=90°，
即A₁G⊥AE，所以D₁F⊥AE，因为AD∩AE=A，
所以D₁F⊥平面ADE，
所以D₁F?平面A₁FD₁，
所以平面A₁FD₁⊥平面ADE．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．