Question

已知函数f（x）=3cos2

wx

2

+

3

2

sinwx-

3

2

（w＞0）在一个周期内的图象如图所示，点A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且三角形ABC的面积为

3

4

π．
（ I）求ω的值及函数f（x）的值域；
（ II）若f（x₀）=

4

5

3

，x₀∈（

π

12

，

π

3

），求f（x₀+

π

6

）的值．

Answer 1

分析：（ I）利用两角和与差的三角函数公式可求得f（x）=

3

sin（ωx+

π

3

），由S_△ABC=

1

2

3

|BC|=

3

4

π可求得|BC|，继而可求得ω，从而可得f（x）的解析式，可求函数f（x）的值域；
（ II）由f（x₀）=

4 3

5

可知sin（2x₀+

π

3

）=

4

5

，由x₀∈（

π

12

，

π

3

）可求得cos（2x₀+

π

3

），最后利用两角和的正弦即可求得f（x₀+

π

6

）的值．

解答：（ I）∵f（x）=3cos2

ωx

2

+

3

2

sin?x-

3

2

=

3

2

cosωx+

3

2

sin?x
=

3

sin（ωx+

π

3

）（ω＞0）
又S_△ABC=

1

2

3

|BC|=

3

4

π，
∴|BC|=

π

2

=

2π

ω

，则ω=2．
∴f（x）=

3

sin（2x+

π

3

），值域是[-

3

，

3

]；　　　5′
（ II）由f（x₀）=

4 3

5

得sin（2x₀+

π

3

）=

4

5

，
∵x₀∈（

π

12

，

π

3

），
∴

π

2

＜2x₀+

π

3

＜π，
∴cos（2x₀+

π

3

）=-

3

5

则f（x₀+

π

6

）=

3

sin[2（x₀+

π

6

）+

π

3

]
=

3

sin[（2x₀+

π

3

）+

π

3

]
=

3

[sin（2x₀+

π

3

）cos

π

3

+cos（2x₀+

π

3

）sin

π

3

]
=

4 3 -9

10

.9′

点评：本题考查两角和与差的三角函数，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得f（x）的解析式是关键，属于难题．