Question

如图，在空间图形A-BCDE中，AB⊥平面BCDE，底面BCDE是直角梯形，且∠CBE=90°，BC∥DE，AB=DE=BE=

1

2

BC=1，点C在平面ADE内的射影为点F，试求异面直线BF与CD所成角的大小．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：以B为原点，BC为x轴，BE为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，点C在平面ADE内的射影为点F，由向量法求出F（2，

1

2

，

1

2

），由此能求出异面直线BF与CD所成角的大小．

解答： 解：以B为原点，BC为x轴，BE为y轴，BA为z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得B（0，0，0），C（2，0，0），
D（1，1，0），E（0，1，0），A（0，0，1），

AD

=（1，1，-1），

AE

=（0，1，-1），
设F（a，b，c），
则

AF

=（a，b，c-1），

CF

=（a-2，b，c），
∵点C在平面ADE内的射影为点F，
∴

CF

是平面ADE的法向量，
∴

CF • AD =a-2+b-c=0 CF • AE =b-c=0 CF • AF =a(a-2)+b2+c(c-1)=0

，
解得a=2，b=c=

1

2

，
∴F（2，

1

2

，

1

2

），∴

BF

=（2，

1

2

，

1

2

），

CD

=（-1，1，0），
|cos＜

BF

，

CD

＞|=|

BF • CD

| BF |•| CD |

|=|

-2+ 1 2

4+ 1 2 • 2

|=

1

2

，
∴异面直线BF与CD所成角的大小为60°．

点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．