Question

【题目】已知椭圆C：x2+2y2=4，
（1）求椭圆C的离心率
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为 ．

∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2．

因此a=2，c= ．

故椭圆C的离心率e=

（2）解：直线AB与圆x2+y2=2相切．

证明如下：

设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0．

∵OA⊥OB，

∴ =0，即tx0+2y0=0，解得 ．

当x0=t时， ，代入椭圆C的方程，得t= ．

故直线AB的方程为x= ，圆心O到直线AB的距离d= ．

此时直线AB与圆x2+y2=2相切．

当x0≠t时，直线AB的方程为 ，

即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0．

圆心O到直线AB的距离d= ．

又 ，t= ．

故 = ．

此时直线AB与圆x2+y2=2相切

【解析】（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；（2）设出点A，B的坐标分别为（x0 ， y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到 =0，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x2+y2=2相切．