Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD= ，F为PC的中点，AF⊥PB．

（1）求PA的长；
（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，连接BD交AC于点O

∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD

以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，

建立空间直角坐标系O﹣xyz，

则OC=CDcos =1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．

又∵OD=CDsin = ，

∴可得A（0，﹣3，0），B（ ，0，0），C（0，1，0），D（﹣ ，0，0）

由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）

∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1， ），由此可得 =（0，2， ），

∵ =（ ，3，﹣z），且AF⊥PB，

∴ =6﹣ =0，解之得z=2 （舍负）

因此， =（0，0，﹣2 ），可得PA的长为2

（2）解：由（I）知 =（﹣ ，3，0）， =（ ，3，0）， =（0，2， ），

设平面FAD的法向量为 =（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为 =（x2，y2，z2），

∵ =0且 =0，∴ ，取y1= 得 =（3， ，﹣2），

同理，由 =0且 =0，解出 =（3，﹣ ，2），

∴向量 、 的夹角余弦值为cos＜ ， ＞= = =

因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于 =

【解析】（1）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2 ，从而得到 =（0，0，﹣2 ），可得PA的长为2 ；（2）由（1）的计算，得 =（﹣ ，3，0）， =（ ，3，0）， =（0，2， ）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出 =（3， ，﹣2）和 =（3，﹣ ，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出 、 夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值