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    【题目】已知是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足.

    (1)求椭圆的标准方程；

    (2)圆是以为直径的圆，一直线与之相切，并与椭圆交于不同的两点、，当且满足时，求的面积的取值范围.

    【答案】(1) .

    （2）.

    【解析】分析：（1）由题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程；

    （2）由圆与直线相切，和，联立方程组，利用一元二次方程的根与系数的关系及韦达定理，求得的取值范围，进而得到三角形面积的表达式，求解面积的取值范围.

    详解：（Ⅰ）因为，所以是线段的中点，所以是的中位线，又所以,所以又因为，

    解得，所以椭圆的标准方程为.

    （Ⅱ）因为直线与圆相切，所以，即

    联立得.

    设

    因为直线与椭圆交于不同的两点、，

    所以，

    ，

    ，又因为，所以

    解得.

    ，

    设，则单调递增，

    所以，即

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    （1）当时，求原点关于直线的对称点坐标；

    （2）在中，求边上中线长的最小值；

    （3）求面积的取值范围.

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    【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益（单位：万元）绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的.

    广告投入/万元

    1

    2

    3

    4

    5

    销售收益/万元

    2

    3

    2

    5

    7

    （Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；

    （Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到上表：

    表中的数据显示与之间存在线性相关关系，求关于的回归方程；

    （Ⅲ）若广告投入万元时，实际销售收益为万元，求残差.

    附：，

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    【题目】如图，曲线是一条居民平时散步的小道，小道两旁是空地，当地政府为了丰富居民的业余生活，要在小道两旁规划出两地来修建休闲活动场所，已知空地和规划的两块用地（阴影区域）都是矩形，，，，若以所在直线为轴，为原点，建立如图平面直角坐标系，则曲线的方程为，记，规划的两块用地的面积之和为.（单位：）

    （1）求关于的函数；

    （2）求的最大值.

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    【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD= ，F为PC的中点，AF⊥PB．

    （1）求PA的长；
    （2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．

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    【题目】如图所示，在平面上，点，点在单位圆上且 .

    （1）若点，求的值：

    （2）若，四边形的面积用表示，求的取值范围.

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