Question

已知圆C的方程为：x²+y²=4。
（1）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A，B两点，若|AB|=，求直线l的方程；
（2）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线。

Answer 1

解：（1）①当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为x=1，
l与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意。
②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y-2=k（x-1），
即kx-y-k+2=0
设圆心到此直线的距离为d，则
，得d=1
∴
故所求直线方程为3x-4y+5=0
综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1。
（2）设点M的坐标为（x₀，y₀）（y₀≠0），Q点坐标为（x，y），
则N点坐标是（0，y₀）
∵
∴（x，y）=（x₀，2y₀），
即x₀=x，
又∵，
∴
∴Q点的轨迹方程是
轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆，除去短轴端点。