Question

13．已知f（x）是定义在R上的函数，对任意m，n∈R，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，f（x）＞1恒成立．
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：x∈R时，恒有f（x）＞0；
（3）判断f（x）在R上是增函数还是减函数，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）令m=1，n=0，得出f（1）=f（1）•f（0 ），再结合当x＞0时，f（x）＞1．得出f（0）=1，
（2）分类证明，：①当x＞0时，f（x）＞1＞0成立；②当x=0时，f（x）=f（0）=1＞0成立；③当x＜0时，令m=x，n=-x，即可证明，
（2）任意x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，则f（x₁）-f（x₂），确定出f（x₁）＞f（x₂）后即可判断出函数f（x）在R上单调递增

解答 解：（1）：令m=1，n=0，则有：f（1+0）=f（1）•f（0）⇒f（1）=f（1）•f（0）⇒f（1）（1-f（0））=0，
∵当x＞0时，f（x）＞1＞0，
∴1-f（0）=0，
∴f（0）=1
（2）：①当x＞0时，f（x）＞1＞0成立；
②当x=0时，f（x）=f（0）=1＞0成立；
③当x＜0时，令m=x，n=-x，则有：f（x+（-x））=f（x）•f（-x）⇒f（0）=f（x）•f（-x）⇒f（x）•f（-x）=1＞0，
∵x＜0，
∴-x＞0，
∴f（-x）＞1＞0，
故f（x）＞0成立．
综上可得：x∈R时，恒有f（x）＞0．
（3）：f（x）在R上是增函数，证明如下：
设任意x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（x₁-x₂）•f（x₂）-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]
由（2）得：x∈R时，恒有f（x）＞0，
∴f（x₂）＞0
又x₁＞x₂，∴x₁-x₂＞0，
由当x＞0时，f（x）＞1恒成立得：f（x₁-x₂）＞1⇒f（x₁-x₂）-1＞0，
∴f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在R上是增函数．

点评 本题考查抽象函数求函数值、单调性的判定、及单调性的应用，考查转化．牢牢把握所给的关系式，对式子中的字母准确灵活的赋值，变形构造是解决抽象函数问题常用的思路