Question

5．要制作一个容积为8m³，高不低于3m，底部矩形长为2m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米40元，侧面造价是每平方米20元，求该容器的最低总造价以及此时容器底部矩形的宽？

Answer 1

分析 此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设设池底宽分别为a，高为h（h≥3m），成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．

解答 解：设池底宽分别为a，高为h（h≥3m），成本为y，
则∵长方形容器的容器为8m³，底部矩形长为2m，
∴2ah=8，∴ah=4．
∵该容器的底面造价是每平方米40元，侧面造价是每平方米20元，
y=2a•40+20[2（a+2）h]=80（a+h）+160=80（$\frac{4}{h}$+h）+160，
∵h≥3，∴$\frac{4}{h}$+h≥$\frac{13}{3}$
故当h=3m，a=$\frac{4}{3}$m时，y取最小值$\frac{1520}{3}$元，
当容器底面池底宽为$\frac{4}{3}$m时，使得容器总造价最低，最小值为$\frac{1520}{3}$元．

点评 本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于中档题．