Question

【题目】已知抛物线，直线过焦点且与抛物线交于、两点，当直线的倾斜角为30°时，．

（1）求抛物线方程．

（2）在平面直角坐标系中，是否存在定点，当直线绕旋转时始终都满足平分．若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

设、，

（1）根据抛物线方程，写出焦点坐标，得出直线的方程，代入抛物线方程，根据弦长公式，列出等式，求解，即可得出结果；

（2）先由直线斜率不存在时，、关于轴对称，易知点在轴上，不妨设为，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，得到，，再由平分，得到，即，化简整理，进而可求出，即可得出结果.

设、，

（1）由题意知抛物线的焦点坐标为，

设直线的方程为：，代入整理得，

所以，

所以，因此，

故抛物线方程为；

（2）当直线斜率不存在时，、关于轴对称，易知点在轴上，不妨设为，

设直线的方程为，联立得，

所以，，

因为平分，

所以，即，所以，

因此，

即，即，解得.

故存在满足平分，且坐标为.