Question

11．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥BD，∠DAB=60°，AE⊥BD，CB=CD=AE=DE=1；
（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；
（2）求直线AB与平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用等腰梯形知识得出AD⊥BD，结合AE⊥BD得出BD⊥平面ADE；
（2）取DE的中点F，连结AF，BF，则可证AF⊥平面BDE，故∠ABF为AB与平面BDE所成的角，利用勾股定理计算出AF，AB即可得出sin∠ABF．

解答 证明：（1）∵等腰梯形ABCD中，AB∥BD，∠DAB=60°，∴∠ADC=∠DCB=120°，
∵BC=CD，∴∠CDB=∠DBC=30°，
∴∠ADB=120°-30°=90°，∴AD⊥BD．
又AE⊥BD，AE?平面ADE，AD?平面ADE，AE∩AD=A，
∴BD⊥平面ADE．
（2）取DE的中点F，连结AF，BF．
∵BD⊥平面ADE，AF?平面ADE，
∴AF⊥BD，
AE=DE=AD，∴AF⊥DE，
又DE?平面BDE，BD?平面BDE，BD∩DE=D，
∴AF⊥平面BDE，
∴∠ABF为AB与平面BDE所成的角．
∵AD=1，∠DAB=60°，AD⊥BD，∴AB=2AD=2，
∵△ADE为边长为1的等边三角形，∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴sin∠ABF=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，属于中档题．