Question

14．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=4，$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=1，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{6}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 展开单项式乘多项式，代入平面向量的数量积公式，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角可求．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=1，得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-|\overrightarrow{a}{|}^{2}=1$，
即$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞-|\overrightarrow{a}{|}^{2}=1$，
∵|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=4，∴4cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=2，即cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{2}$，
又＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞∈[0，π]，
∴向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的夹角，是基础题．