Question

10．某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

（1）画出散点图；
（2）求y关于x的线性回归方程．
可能用到公式：
$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-y）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}}\\{a=\overline{y}-b\overline{x}}\end{array}\right.$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图．
（2）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程．

解答 解　（1）散点图如图所示：

（2）列出下表，并用科学计算器进行有关计算．

i	1	2	3	4	5
xi（百万元）	2	4	5	6	8
yi（百万元）	30	40	60	50	70
xiyi	60	160	300	300	560
$\overline x$=5；$\overline y$=50；
$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}$=145；$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=1 380

于是可得$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}-5\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^5{{x_i}^2-5{{\overline x}^2}}}}=\frac{1380-5×5×50}{{145-5×{5^2}}}=6.5$$a=\overline y-b\overline x=50-6.5×50=17.5$，
故回归方程为$\hat y=6.5x+17.5$．

点评 本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是解答正确的主要环节．