Question

20．圆锥的侧面展开图是圆心角为α，半径为$\sqrt{3}$的扇形，当圆锥的体积最大时，α的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}π}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}π}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}π}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{6}π}{3}$

Answer 1

分析 设圆锥底面半径为r，用r表示出圆锥的高，利用体积公式和基本不等式求出圆锥体积最大时对应的底面半径，从而得出α的值．

解答 解：圆锥的母线长为$\sqrt{3}$，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h=$\sqrt{3-{r}^{2}}$，
∴圆锥的体积V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}\sqrt{3-{r}^{2}}$=$\frac{π}{3}$$\sqrt{{r}^{2}•{r}^{2}（3-{r}^{2}）}$=$\frac{2π}{3}$$\sqrt{\frac{{r}^{2}}{2}•\frac{{r}^{2}}{2}•（3-{r}^{2}）}$≤$\frac{2π}{3}$．
当且仅当$\frac{{r}^{2}}{2}=\frac{{r}^{2}}{2}=3-{r}^{2}$即r²=2时取等号．
∴圆锥的体积最大时，α=$\frac{2πr}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{2}π}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}π}{3}$．
故选D．

点评 本题考查了圆锥的结构特征，基本不等式的应用，属于中档题．