Question

16．已知三点A（1，0）、B（2，-3）、C（-2，a），向量$\overrightarrow{BA}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角和直线BA与BC的夹角的关系．

Answer 1

分析 先求出$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}$的坐标，从而求出$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=3a+13$，这样讨论3a+13＞0，3a+13=0，以及3a+13＜0，从而可判断每种情况下向量$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$的夹角和直线BA，BC夹角的关系．

解答 解：$\overrightarrow{BA}=（-1，3），\overrightarrow{BC}=（-4，a+3）$；
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=4+3（a+3）=3a+13$；
①3a+13＞0，即$a＞-\frac{13}{3}$时，$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}$夹角为锐角或零角，等于直线BA与BC的夹角；
②3a+13=0，即a=$-\frac{13}{3}$时，$\overrightarrow{BA}⊥\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}$与$\overrightarrow{BC}$夹角等于直线BA与BC的夹角；
③3a+13＜0，即$a＜-\frac{13}{3}$时，$\overrightarrow{BA}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角和直线BA与BC的夹角互补．

点评 考查根据点的坐标求向量坐标的方法，向量数量积的计算公式，以及向量数量积的坐标运算，向量夹角和直线夹角的定义．