Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是菱形，且,点是棱的中点，平面与棱交于点．

(1)求证：；

(2)若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）证明AB∥CD，即可证明AB∥面PCD，然后证明AB∥EF；（2） 取AD中点G，连接PG，GB证明AD⊥GB，建立空间直角坐标系G-xyz，设PA=PD=AD=2，求出相关点的坐标，分别求出平面AFE，PAF的法向量，利用向量法求解平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值即可．

解：(1)∵底面是菱形，∴，

又∵面，面，

∴面

又∵，，，四点共面，且平面平面，

∴

(2)取中点，连接，，∵，∴，

又∵平面平面，且平面平面，

∴平面，∴，

在菱形中，∵，，是中点，

∴

如图，建立空间直角坐标系，设，

则，， ，，，

又∵，点是棱中点，

∴点是棱中点，

∴，，,

设平面的法向量为，则有，∴ ，

不妨令，则平面的一个法向量为

∵平面，∴是平面的一个法向量，

∵，

∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．