Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x+3）²+（y﹣1）²=4和圆C₂：（x﹣4）²+（y﹣5）²=4．

（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C₁截得的弦长为2，求直线l的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

 

Answer 1

解：（1）由于直线x=4与圆C₁不相交；

∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）

圆C₁的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C₁截得的弦长为2

∴d==1（2分）

d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣

∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分）

（2）设点P（a，b）满足条件，不妨设直线l₁的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0

则直线l₂方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）

∵⊙C₁和⊙C₂的半径相等，及直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，

∴⊙C₁的圆心到直线l₁的距离和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等

即=（8分）

整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|

∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5

因k的取值有无穷多个，所以或（10分）

解得或

这样的点只可能是点P₁（，﹣）或点P₂（﹣，）

经检验点P₁和P₂满足题目条件（12分）