Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，三角形ADP中AD=AP=5，PD=6，M、N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD．
（2）求异面直线MN与AD夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取CD中点O，连结NO、MO，推导出平面MON∥平面ADP，由此能证明MN∥平面APD．
（2）取PD中点H，连结AH、NH、AH，推导出∠HAD是异面直线MN与AD夹角，由此能求出异面直线MN与AD夹角的余弦值．

解答 证明：（1）取CD中点O，连结NO、MO，
∵M、N分别是AB，PC的中点，
∴NO∥PD，MO∥AD，
∵NO∩MO=O，PD∩AD=D，
NO，MO?平面MNO，PD、AD?平面APD，
∴平面MON∥平面ADP，
∵MN?平面MON，∴MN∥平面APD．
解：（2）取PD中点H，连结AH、NH、AH，
∵O是CD中点，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB，PC的中点．
∴NH$\underset{∥}{=}$DO$\underset{∥}{=}$AM，∴四边形AMNH是平行四边形，
∴AH∥MN，∴∠HAD是异面直线MN与AD夹角，
∵三角形ADP中AD=AP=5，PD=6，∴DH=3，
∴cos$∠ADP=\frac{A{D}^{2}+P{D}^{2}-A{P}^{2}}{2×AD×PD}$=$\frac{25+36-25}{2×5×6}$=$\frac{3}{5}$，
∴cos$∠ADH=\frac{A{D}^{2}+D{H}^{2}-A{H}^{2}}{2×AD×DH}$=$\frac{25+9-A{H}^{2}}{2×5×3}$=$\frac{3}{5}$，解得AH=4，
∴cos∠HAD=$\frac{A{H}^{2}+A{D}^{2}-H{D}^{2}}{2×AH×AD}$=$\frac{16+25-9}{2×4×5}$=$\frac{4}{5}$．
∴异面直线MN与AD夹角的余弦值为$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．