Question

10．若函数f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{4φ}{3}$）（φ∈（$\frac{π}{2}$，π）的图象向左平移$\frac{2π}{3}$个单位长度得到函数g（x）的图象，且函数g（x）是偶函数，则φ的值为$\frac{7π}{8}$．

Answer 1

分析 由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得φ的值．

解答 解：把函数f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{4φ}{3}$）（φ∈（$\frac{π}{2}$，π）的图象向左平移$\frac{2π}{3}$个单位长度，
得到函数g（x）=2sin[$\frac{1}{2}$（x+$\frac{2π}{3}$）+$\frac{4φ}{3}$]=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{4φ}{3}$+$\frac{π}{3}$）的图象．
再根据函数g（x）是偶函数，可得$\frac{4φ}{3}$+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=$\frac{3kπ}{4}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
故φ=$\frac{7π}{8}$，
故答案为：$\frac{7π}{8}$．

点评 本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．