Question

1．如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结 AD、BD、OC、OD，且 OD=5．
（1）求证：∠CDB=∠ADO；
（2）若sin∠BAD=$\frac{3}{5}$，求 CD 的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理，以及三角形全等即可证明．
（2）由⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，利用垂径定理可得CE=ED．在Rt△ABD中，利用直角三角形的边角关系可得BD=ABsin∠BAD．再利用勾股定理可得．由等面积变形可得，即可得出．

解答 证明：（1）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
所以$\widehat{CB}$=$\widehat{BD}$，$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，所以∠BAD=∠CDB，…（2分）
∠AOC=∠AOD．因为AO=DO，所以∠BAD=∠ADO，
所以∠CDB=∠ADO．…（5分）
（2）因为AB是⊙O的直径，OD=5
所以∠ADB=90°，AB=10
在Rt△ABD中，$sin∠BAD=\frac{BD}{AB}$
又$sin∠BAD=\frac{3}{5}$，所以$\frac{BD}{10}=\frac{3}{5}$，
所以BD=6．…（7分）$AD=\sqrt{A{B^2}-B{D^2}}=\sqrt{{{10}^2}-{6^2}}=8$
因为∠ADB=90°，AB⊥CD
所以$DE\cdotAB=AD\cdotBD，CE=DE$
所以DE×10=8×6
所以$DE=\frac{24}{5}$，所以$CD=2DE=\frac{48}{5}$．…（10分）

点评 本题综合考查了圆的性质、垂径定理、直角三角形的边角关系、勾股定理、等面积变形、三角形外角定理、扇形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，属于基础题．