Question

13．在△ABC中，求证：S_△ABC=$\frac{{a}^{2}}{2（cotB+cotC）}$．

Answer 1

分析 由三角形面积公式可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC，且由正弦定理可得：sinB=$\frac{b}{2R}$，sinA=$\frac{a}{2R}$，利用同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，化简等式右边可证等于左边，从而得证．

解答 解：∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC，且由正弦定理可得：sinB=$\frac{b}{2R}$，sinA=$\frac{a}{2R}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{2（cotB+cotC）}$=$\frac{{a}^{2}}{2（\frac{cosB}{sinB}+\frac{cosC}{sinC}）}$=$\frac{{a}^{2}}{2\frac{cosBsinC+cosCsinB}{sinBsinC}}$=$\frac{{a}^{2}}{2\frac{sinA}{sinBsinC}}$=$\frac{{a}^{2}sinBsinC}{2sinA}$=$\frac{{a}^{2}×\frac{b}{2R}×sinC}{2×\frac{a}{2R}}$=$\frac{1}{2}$absinC=S_△ABC．
得证．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于中档题．