Question

14．已知θ，x为实数，集合M={θ|（1+cos²θ）x²-x≥（x+2）（cos2θ+2）}=（-∞，+∞），则x的取值范围是（-∞，1-$\sqrt{3}$]∪[1+$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 把给出的不等式右边二倍角降角升幂，整理为关于cos²θ的一次不等式，然后由θ∈R时，不等式（x²-2x-2）cos²θ+（x²-2x-2）≥0恒成立，从而求出x的范围．

解答 解：由（1+cos²θ）x²-x≥（x+2）（cos2θ+2），
得：（1+cos²θ）x²-x≥（x+2）（2cos²θ+1），
∴（x²-2x-2）cos²θ+（x²-2x-2）≥0，
要使集合M={θ|（1+cos²θ）x²-x≥（x+2）（cos2θ+2）}=（-∞，+∞），
即使θ∈R时，不等式（x²-2x-2）cos²θ+（x²-2x-2）≥0，恒成立，
上式看作关于cos²θ的一次不等式，
则x²-2x-2≥0，解得：x≥1+$\sqrt{3}$或x≤1-$\sqrt{3}$，
故答案为：（-∞，1-$\sqrt{3}$]∪[1+$\sqrt{3}$，+∞）．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，更换主元是解答该题的关键，是中档题．