Question

18．如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，PA=AB=a，点M是PC的中点．
（1）求BP与DM所成的角的大小；
（2）求二面角M-DA-C的大小．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，求出向量坐标，即可求BP与DM所成的角的大小；
（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角M-DA-C的大小．

解答 解：建系如图，由已知得A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，a），M（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$）．
（1）设直线BP与DM所成的角为θ．
∵$\overrightarrow{BP}$=（-a，0，a），$\overrightarrow{DM}$=（$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），
∴$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{DM}$=0．
∴BP与DM所成的角的大小为90°．
（2）∵$\overrightarrow{AP}$=（0，0，a），$\overrightarrow{AB}$=（a，0，0），
$\overrightarrow{AD}$=（0，a，0），$\overrightarrow{BP}$=（-a，0，a），
∴$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{AD}$=0，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AD}$=0．
又由（1）知$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{DM}$=0．
∴$\overrightarrow{BP}$是平面MDA的法向量，$\overrightarrow{AP}$是平面ABCD的法向量，
则cos＜$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{AP}$＞=$\frac{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{BP}||\overline{AP}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴所求的二面角M-DA-C的大小为45°．

点评 本题主要考查空间角的计算，利用建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．