Question

1．已知平面内动点P与点A（-3，0）和点B（3，0）的连线的斜率之积为-$\frac{8}{9}$．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹且曲线C，过点（1，0）的直线与曲线C交于M，N两点，记△AMB的面积为S₁，△ANB的面积为S₂，当S₁-S₂取得最大值时，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由a=3，利用椭圆的离心率公式，即可求得c，则b²=a²-c²=8，即可求得椭圆方程；
（2）设直线MN方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，S₁-S₂=3丨y₁丨-3丨y₂丨=3丨y₁+y₂丨利用韦达定理及基本不等式的性质，即可求得面积最大值时，m的取值，分类讨论，分别求得y₁及y₂，即可求得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值．

解答 解：（1）由题意可知：2a=6，则a=3，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，
则c=1，b²=a²-c²=8，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线MN的方程：l_MN：x=my+1，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，整理得：（8m²+9）y²+16my-64=0，
显然△＞0，
则y₁+y₂=-$\frac{16m}{8{m}^{2}+9}$，y₁y₂=-$\frac{64}{8{m}^{2}+9}$，
S₁=$\frac{1}{2}$丨AB丨×丨y₁丨=3丨y₁丨，同理S₂=3丨y₂丨，
不妨设，丨y₁丨＞丨y₂丨，
于是S₁-S₂=3丨y₁丨-3丨y₂丨=3丨y₁+y₂丨=$\frac{48丨m丨}{8{m}^{2}+9}$，
当S₁-S₂最大时，m≠0，
则S₁-S₂=$\frac{48}{8丨m丨+\frac{9}{丨m丨}}$≤$\frac{48}{2\sqrt{8丨m丨•\frac{9}{丨m丨}}}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当8丨m丨=$\frac{9}{丨m丨}$，即m²=$\frac{9}{8}$，即m=±$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，则S₁-S₂取最大值，
若m=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，则18y²+12$\sqrt{2}$y-64=0，
解得：y=$\frac{-2±\sqrt{34}}{3}$，y₁=$\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{34}}{3}$，y₂=$\frac{-2+\sqrt{34}}{3}$，
则$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=丨$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$丨=丨$\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{34}}{-\sqrt{2}+\sqrt{34}}$丨=$\frac{9+\sqrt{17}}{8}$，
若m=-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，则18y²-12$\sqrt{2}$y-64=0，
解得：y=$\frac{\sqrt{2}±\sqrt{34}}{3}$，则y₁=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{34}}{3}$，y₂=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{34}}{3}$，
此时$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=丨$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$丨=丨$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{34}}{\sqrt{2}-\sqrt{34}}$丨=$\frac{9+\sqrt{17}}{8}$，
综上可知：$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值$\frac{9+\sqrt{17}}{8}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．