Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，函数在区间上的最小值为-5，求的值；

（Ⅱ）设，且有两个极值点，.

（i）求实数的取值范围；

（ii）证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）8；（Ⅱ）（i）；（ii）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）对求导，可得，单调递增，得到最小值，从而得到的值.

（Ⅱ）（i）有两个极值点，，通过参变分离转化为有两个不相等的实数根，再转化成两个函数交点问题，从而得到的取值范围.

（ii）根据题意得到，，两式相加、减消去，设构造出关于的函数，利用导数得到单调性，进行证明.

解：（Ⅰ），

∵，，∴，

所以在区间上为单调递增.

所以，

又因为，

所以的值为8.

（Ⅱ）（i）∵

，

且的定义域为，

∴.

由有两个极值点，，

等价于方程有两个不同实根，.

由得：.

令，

则，由.

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减.

所以，当时，取得最大值，

∵，∴当时，，当时，，

所以，解得，所以实数的取值范围为.

（ii）证明：不妨设，

且①，②，

①+②得： ③

②-①得： ④

③÷④得：，即，

要证：，

只需证.

即证：.

令，

设，

.

∴在上单调递增，

∴，即，

∴.