Question

16．复数$\frac{（-1+\sqrt{3}i）^{5}}{1+\sqrt{3}i}$的值是（　　）

• A． -16
• B． 16
• C． -$\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$i

Answer 1

分析 $（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}$=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，$（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{3}$=1．代入即可得出．

解答 解：∵$（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}$=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，$（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{3}$=1．
$\frac{（-1+\sqrt{3}i）^{5}}{1+\sqrt{3}i}$=$\frac{{2}^{5}（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{5}}{2（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）}$=$\frac{{2}^{4}（-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i）}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}$=-16．
故选：A．

点评 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．