Question

6．已知函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域；
（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦函数与余弦函数以及两角和的正弦函数．化简函数为一个角的一个三角函数的形式，由x的范围求出相位的范围，则函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域可求；
（2）在△ABC中，利用f（C）=2，求出C的值，通过sinB=cos（A-C）-cos（A+C）利用两角和与差的三角函数化简，推出tanA与C的正弦函数与余弦函数的关系式，求出结果即可．

解答 解：（1）f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+1=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$．
（1）由$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$，得$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，则y∈[0，3]；
（2）∵f（C）=2，∴2sin（2C+$\frac{π}{6}$）+1=2，
∴sin（2C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴$\frac{π}{6}$＜2C+$\frac{π}{6}$＜2π+$\frac{π}{6}$，
则2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，C=$\frac{π}{3}$．
∵2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC，
∴sin（A+C）=sinAsinC，
即：sinAcosC+cosAsinC=sinAsinC，
即：tanA=$\frac{sinC}{sinC-cosC}$=$\frac{sin\frac{π}{3}}{sin\frac{π}{3}-cos\frac{π}{3}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查二倍角公式以及两角和与差的三角函数的应用，求解函数f（x）的值域的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．