Question

【题目】已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x．
（1）画出f（x）的简图，并求f（x）的解析式；

（2）利用图象讨论方程f（x）=k的根的情况．（只需写出结果，不要解答过程）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），当x=0时，有f（0）=0．

当x＞0时，f（x）=x2﹣2x，

当x＜0时，则﹣x＞0，

那么：f（﹣x）=x2+2x，

∵f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）=﹣x2﹣2x

f（x）是定义在R上的解析式为f（x）=

（简图（如右图）

（2）解：根据图象：当k=±1时，有2个实数根，

当﹣1＜k＜1时，有3个实数根，

当k＞1或k＜﹣1时，方程有1个实根

【解析】（1）根据y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x．求出f（x）的解析式．作图．（2）根据函数图象与函数y=k的交点，即可判断根的情况．
【考点精析】利用函数奇偶性的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．