Question

【题目】已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+ x2；
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若 ，求（a+1）b的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：

令x=1得：f（0）=1

∴ 令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e

故函数的解析式为

令g（x）=f'（x）=ex﹣1+x

∴g'（x）=ex+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增

当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有

f'（x）＜f'（0）=0得：

函数 的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）

（2）解： 得h′（x）=ex﹣（a+1）

①当a+1≤0时，h′（x）＞0y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾

②当a+1＞0时，h′（x）＞0x＞ln（a+1），h'（x）＜0x＜ln（a+1）

得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b

∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）

令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）

∴

当 时，

即当 时，（a+1）b的最大值为

【解析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意 ，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值