Question

【题目】设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]D，使得函数f（x）满足：
①f（x）在[a，b]上是单调函数；
②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．
下列结论错误的是（ ）
A.函数f（x）=x2（x≥0）存在“和谐区间”
B.函数f（x）=2x（x∈R）存在“和谐区间”
C.函数f（x）= （x＞0）不存在“和谐区间”
D.函数f（x）=log2x（x＞0）存在“和谐区间”

Answer 1

【答案】D
【解析】解：A中，当x≥0时，f（x）=x2在[0，2]上是单调增函数，且f（x）在[0，2]上的值域是[0，4]，∴存在“和谐区间”，原命题正确；
B中，当x∈R时，f（x）=2x在[1，2]上是单调增函数，且f（x）在[1，2]上的值域是[2，4]，∴存在“和谐区间”，原命题正确；
C中，f（x）= （x＞0）是单调减函数，且f（x）在[1，2]上的值域是[ ，1]，∴不存在“和谐区间”，原命题正确；
D中，当x＞0时，f（x）=log2x是单调增函数，假设存在[a，b]满足题意，则f（a）=2a，且f（b）=2b，即log2a=2a，且log2b=2b；
∴22a=a，且22b=b，即4a=a，且4b=b；这与函数的单调性矛盾，∴假设不成立，即函数不存在“和谐区间”，原命题不正确；
故选D．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的值域(求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的)．