Question

10．已知M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB、AC于点P、Q，设
$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}=y\overrightarrow{AC}$，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设g（x）=x³+3a²x+2a，x∈[0，1]．若对任意x₁∈[$\frac{1}{3}$，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）表示出向量AM，根据P、M、Q三点共线，得到关于x，y的等式，解出y即f（x）的解析式；
（2）分别根据f（x），g（x）的单调性，求出f（x），g（x）的值域，结合集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）∵过点M的直线分别交两边AB、AC于P、Q，
∴0＜x≤1，0＜y≤1…（1分），
又∵$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}$=y$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{4x}$$\overrightarrow{AP}$+$\frac{1}{4y}$$\overrightarrow{AQ}$…（2分），
又∵P、M、Q三点共线，
∴$\frac{1}{4x}$+$\frac{1}{4y}$=1，
∴y=f（x）=$\frac{x}{4x-1}$…（3分），
由$\left\{\begin{array}{l}0＜x≤1\\ 0＜y≤1\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}0＜x≤1\\ 0＜\frac{x}{4x-1}≤1\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{3}$≤x≤1…（4分），
∴y=f（x）=$\frac{x}{4x-1}$，x∈[$\frac{1}{3}$，1]…（5分）；
（2）∵f（x）=$\frac{x}{4x-1}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{{\frac{1}{4}}}{4x-1}$在[$\frac{1}{3}$，1]内是减函数，
∴[f（x）]_min=f（1）=$\frac{1}{3}$，[f（x）]_max=f（$\frac{1}{3}$）=1，
即函数f（x）的值域为[$\frac{1}{3}$，1]…（7分），
∵g'（x）=3x²+3a²≥0，
∴g（x）在[0，1]内是增函数，
∴[g（x）]_min=g（0）=2a，[g（x）]_max=g（1）=3a²+2a+1，
∴g（x）的值域为[2a，3a²+2a+1]…（9分），
由题设得[$\frac{1}{3}$，1]⊆[2a，3a²+2a+1]，
则$\left\{\begin{array}{l}{2a≤\frac{1}{3}}\\{{3a}^{2}+2a+1≥1}\end{array}\right.$ …（11分）
解得a的取值范围是（-∞，-$\frac{2}{3}$]∪[0，$\frac{1}{6}$]…（12分）．

点评 本题考查了向量共线问题，考查求函数的解析式，函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．