Question

3．如图，正方形ABEF所在平面与梯形ABCD所在平面互相垂直，且AD⊥AB，DC∥AB，AB=2AD=2CD．
（1）求证：DE⊥BF；
（2）若M为BE上的点，CM∥平面DAE，求平面DAE和平面ACM所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能能证明DE⊥BF．
（2）求出平面ADE的法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出平面DAE和平面ACM所成锐二面角的大小．

解答 证明：（1）∵正方形ABEF所在平面与梯形ABCD所在平面互相垂直，且AD⊥AB，
∴AD、AB、AF两两垂直，
以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AF为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵DC∥AB，设AB=2AD=2CD=2，
则D（1，0，0），E（0，2，2），B（0，2，0），F（0，0，2），
$\overrightarrow{DE}$=（-1，2，2），$\overrightarrow{BF}$=（0，-2，2），
$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BF}$=0-4+4=0，
∴DE⊥BF．
解：（2）A（0，0，0），$\overrightarrow{AD}$=（1，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，2，2），
设平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
设M（0，2，t），C（1，1，0），则$\overrightarrow{CM}$=（-1，1，t），
∵CM∥平面DAE，∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{n}$=0+1-t=0，t=1．
∴M（0，2，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AM}$=（0，2，1），
设平面ACM的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=2x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-2），
设平面DAE和平面ACM所成锐二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴$θ=arccos\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴平面DAE和平面ACM所成锐二面角为arccos$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．