Question

8．已知函数f（x）=sinx-ax．
（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）-sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；
（Ⅲ）求证：$ln（{n+1}）＜1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}（{n∈{N^*}}）$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出a的范围即可；
（Ⅱ）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式求出h（x）的单调区间，从而求出h（x）的最大值即可；
（Ⅲ）构造函数f（x）=ln（1+x）-x，利用导数法可证得ln（1+x）≤x（当x≠0时，ln（1+x）＜x），令x=$\frac{1}{n}$，利用对数函数的运算性质及累加法求和即可证得结论成立．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sinx-ax，f′（x）=cosx-a，
若对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，
即a＜cosx在（0，1）恒成立，
故a≤0；
（Ⅱ）a=1时，h（x）=lnx-x+1，（x＞0），
h′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，
∴h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴h（x）的最大值是h（1）=0；
证明：（Ⅲ）构造函数g（x）=ln（1+x）-x，
则g′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1=$\frac{-x}{1+x}$，
当-1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；
所以，当x=0时，g（x）=ln（1+x）-x取得极大值，也是最大值，
所以，g（x）≤g（0）=0，即ln（1+x）≤x，当x≠0时，ln（1+x）＜x．
令x=$\frac{1}{n}$，
则ln（1+$\frac{1}{n}$）=ln（n+1）-lnn＜$\frac{1}{n}$，即ln（n+1）-lnn＜$\frac{1}{n}$，
∴ln2-ln1＜1，ln3-ln2＜$\frac{1}{2}$，…，
lnn-ln（n-1）＜$\frac{1}{n-1}$，ln（n+1）-lnn＜$\frac{1}{n}$，
以上n个不等式相加得：ln（n+1）-ln1＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，
即$ln（{n+1}）＜1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}（{n∈{N^*}}）$．

点评 本题考查函数的单调性、最值问题，考查不等式的证明，构造函数g（x）=ln（1+x）-x，利用导数法证得ln（1+x）≤x是关键，也是难点，考查创新思维、化归思想与推理论证能力，属于难题．