Question

17．设直线l过点P（-3，3），且倾斜角为$\frac{5π}{6}$
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设此直线与曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）交A、B两点，求|PA|•|PB|；
（3）设A、B中点为M，求|PM|．

Answer 1

分析 （1）由题意可得直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+tcos\frac{5π}{6}}\\{y=3+tsin\frac{5π}{6}}\end{array}\right.$，化简即可得出．
（2）曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系即可化为普通方程，把直线l的参数方程代入化为：13t²+60$\sqrt{3}$t+116=0，利用根与系数的关系、参数的几何意义即可得出．
（3）设AB中点为M所对应的参数为t₀，则t₀=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$，利用根与系数的关系、参数的几何意义即可得出．

解答 解：（1）由直线l过点P（-3，3），且倾斜角为$\frac{5π}{6}$，
可得直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+tcos\frac{5π}{6}}\\{y=3+tsin\frac{5π}{6}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=-3-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=3+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$．
（2）曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）化为普通方程：$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{4}$=1，
把直线l的参数方程代入化为：13t²+60$\sqrt{3}$t+116=0，
∴t₁+t₂=-$\frac{60\sqrt{3}}{13}$，t₁•t₂=$\frac{116}{13}$，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{116}{13}$．
（3）设AB中点为M所对应的参数为t₀，则t₀=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$=-$\frac{30\sqrt{3}}{13}$．
∴|PM|=|t₀|=$\frac{30\sqrt{3}}{13}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线与椭圆相交转化为一元二次方程的根与系数的关系、参数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．