Question

15．设函数f（x）=b+ax-e^x，其中a，b为实数，e=2.71828…．
（Ⅰ）当b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值；
（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$ax²+（b-a）x-b+1，g（1）=0，且g（x）在（0，1）内有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算，f（0），f′（0），求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，从而求出函数的最大值即可；
（Ⅲ）求出导数，g（1）=0，可得b=e-$\frac{1}{2}$a-1，得到g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（e-$\frac{1}{2}$a-1）x-e^x+1，结合（Ⅱ）运用函数零点存在定理，结合函数的单调性，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）b=0时，f（x）=ax-e^x，f′（x）=a-e^x，
f（0）=-1，f′（0）=a-1，
故切线方程是：y+1=（a-1）x，
即y=（a-1）x-1；
（Ⅱ）f′（x）=a-e^x，
a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在[0，1]递减，f（x）_max=f（0）=b-1；
a＞0时，令f′（x）=0，解得：x=lna，
令f′（x）＞0，解得：x＜lna，令f′（x）＜0，解得：x＞lna，
f（x）在（-∞，lna）递增，在（lna，+∞）递减，
①lna≤0即0＜a≤1时，f（x）在[0，1]递减，f（x）_max=f（0）=b-1；
②0＜lna＜1即1＜a＜e时，f（x）在[0，lna）递增，在（lna，1]递减，
f（x）_max=f（lna）=b-a+alna，
③lna≥1即a≥e时，f（x）在[0，1]递增，
f（x）_max=f（1）=b+a-e；
综上，a≤1时，f（x）_max=b-1，
1＜a＜e时，f（x）_max=b-a+alna，
a≥e时，f（x）_max=b+a-e；
（Ⅲ）g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+bx-e^x+1，
由g（1）=0，可得b=e-$\frac{1}{2}$a-1，
∴g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（e-$\frac{1}{2}$a-1）x-e^x+1，
∴g′（x）=ax+（e-$\frac{1}{2}$a-1）-e^x，又g（0）=0．
若函数g（x）在区间（0，1）内有零点，
设x₀为g（x）在区间（0，1）内的一个零点，
则由g（0）=g（x₀）=0可知，
g（x）在区间（0，x₀）内不可能单调递增，也不可能单调递减，
则g′（x）在区间（0，x₀）内不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g′（x）在区间（0，x₀）内存在零点x₁．同理g′（x）在区间（x₀，1）内存在零点x₂．
故函数g（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
g′（x）在区间（0，1）内至少有两个零点，
g″（x）=a-e^x，
由（Ⅱ）知当a≤1或a≥e时，函数g′（x）在区间[0，1]内单调，
不可能满足“函数g（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．
若1＜a＜e，此时g′（x）在区间（0，lna）内单调递增，在区间（lna，1）内单调递减．
因此x₁∈（0，lna），x₂∈（lna，1），
由g′（x）_max=g′（lna）=（$\frac{a}{2}$+e-1）lna-a+1，
不妨令h（x）=（$\frac{x}{2}$+e-1）lnx-x+1，（1＜x＜e），
则h′（x）=$\frac{1}{2}$lnx+$\frac{e-1}{x}$-$\frac{1}{2}$，h″（x）=$\frac{{x}^{2}-2（e-1）}{{2x}^{2}}$，
令h″（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{2（e-1）}$，令h″（x）＜0，解得：x＜$\sqrt{2（e-1）}$，
∴h′（x）在（1，$\sqrt{2（e-1）}$）递减，在（$\sqrt{2（e-1）}$，e）递增，
∴h′（x）_min=h′（$\sqrt{2（e-1）}$）=$\frac{1}{2}$[ln$\sqrt{2（e-1）}$+$\sqrt{2（e-1）}$-1]＞0，
∴h（x）在（1，e）递增，h（x）＞h（1）=0，即g′（x）_max＞0，
于是，函数g（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
只需$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜e}\\{g′（1）＜0}\\{g′（e）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜e}\\{a+e-\frac{1}{2}a-1-e＜0}\\{ae+e-\frac{1}{2}a-1{-e}^{e}＜0}\end{array}\right.$，
解得：1＜a＜2；
故满足条件的a的范围是（1，2）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，考查函数方程的转化思想的运用，属于难题．