Question

13．已知c＞0．设命题p：函数y=c^x为减函数；命题q：当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{c}$恒成立．如果p∨q为真命题，（￢p）∨（￢q）也为真命题，求c的取值范围．

Answer 1

分析 当p真时，利用指数函数的单调性可得0＜c＜1；当q真时，利用基本不等式的性质可得：$x+\frac{1}{x}$≥2，（当且仅当x=1时取等号），可得$\frac{1}{c}$＜2．由（￢p）∨（￢q）为真命题，可得p∧q为假命题，又p∨q为真命题，可得p，q必然一真一假．

解答 解：当p真时，0＜c＜1；
当q真时，$x+\frac{1}{x}$≥2，（当且仅当x=1时取等号），
∴$\frac{1}{c}$＜2，解得c$＞\frac{1}{2}$．
∵（￢p）∨（￢q）为真命题，
∴p∧q为假命题，
又p∨q为真命题，
∴p，q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜c＜1}\\{0＜c≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{c≥1}\\{c＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$0＜c≤\frac{1}{2}$，或c≥1．
综上，c的取值范围是$（0，\frac{1}{2}]$∪[1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．