Question

已知数列{an}满足：a1＝，an＋1＝ (n∈N*)．

(1)求a2，a3的值；

(2)证明：不等式0＜an＜an＋1对于任意n∈N*都成立．

 

Answer 1

（1）a2＝，a3＝（2）见解析

【解析】(1)由题意，得a2＝，a3＝.

(2)①当n＝1时，由(1)知0＜a1＜a2，不等式成立．

②设当n＝k(k∈N*)时，0＜ak＜ak＋1成立，则当n＝k＋1时，由归纳假设，知ak＋1＞0.

而ak＋2－ak＋1＝ ＝＝＞0，

所以0＜ak＋1＜ak＋2，

即当n＝k＋1时，不等式成立．

由①②，得不等式0＜an＜an＋1对于任意n∈N*成立．