Question

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1,3)．

(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．

Answer 1

解：(1)∵f(x)＋2x＞0的解集为(1,3)，

f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a＜0，

因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x

＝ax²－(2＋4a)x＋3a.①

由方程f(x)＋6a＝0，

得ax²－(2＋4a)x＋9a＝0.②

因为方程②有两个相等的根，

所以Δ＝[－(2＋4a)]²－4a·9a＝0，

即5a²－4a－1＝0，

解得a＝1或a＝－.

由于a＜0，舍去a＝1，将a＝－代入①得f(x)的解析式f(x)＝－x²－x－.

(2)由f(x)＝ax²－2(1＋2a)x＋3a

＝a－及a＜0，

可得f(x)的最大值为－.

由

解得a＜－2－或－2＋＜a＜0.

故当f(x)的最大值为正数时，

实数a的取值范围是

(－∞，－2－)∪(－2＋，0)．