Question

在直角坐标系xOy中，已知动点P与平面上两定点M（-1，0），N（1，0）连线的斜率的积为定值-4，设点P的轨迹为C．
（1）求出曲线C的方程；
（2）设直线y=kx+1与C交于A，B两点，若

OA

⊥

OB

，求k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据定点M（-1，0）、N（1，0），直线MP与直线PN的斜率之积为-4，建立方程，化简可得曲线C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及

OA

⊥

OB

，推出x₁x₂+y₁y₂=0，然后求出直线的斜率的值即可．

解答： 解：（1）设P点坐标为（x，y）
∵定点M（-1，0）、N（1，0），直线PM与直线PN的斜率之积为-4，
∴

y

x+1

•

y

x-1

=-4，
∴曲线C的方程为x2+

y2

4

=1(x≠±1)．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足 

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

．
若

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1，
于是x1x2+y1y2=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=0，
化简得-4k²+1=0，所以k=±

1

2

．

点评：本题考查轨迹方程的求解，考查存在性问题的探究，考查直线与椭圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力．