Question

已知

a

=(cos(θ-

π

4

)， 1)，

b

=（3，0），其中θ∈(

π

2

， 

5π

4

)，若

a

•

b

=1．
（Ⅰ）求sinθ的值；
（Ⅱ）求tan2θ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（I）利用数量积运算、平方关系、两角和差的正弦公式即可得出；
（II）利用两角和差的余弦公式、基本关系式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

•

b

=1．∴cos(θ-

π

4

)=

1

3

，
∵θ∈(

π

2

， 

5π

4

)，∴(θ-

π

4

)∈(

π

4

，π)．
∴sin(θ-

π

4

)=

2 2

3

，
∴sinθ=sin[(θ-

π

4

)+

π

4

]=sin(θ-

π

4

)cos

π

4

+cos(θ-

π

4

)sin

π

4

=

4+ 2

6

． 
（Ⅱ）由cos(θ-

π

4

)=

1

3

得sinθ+cosθ=

2

3

，
两边平方得：1+2sinθcosθ=

2

9

，即sin2θ=-

7

9

，
∵θ-

π

4

∈(

π

4

，π)，且cos(θ-

π

4

)＞0，
∴θ-

π

4

∈(

π

4

，

π

2

)，∴θ∈(

π

2

，

3π

4

)，∴2θ∈(π，

3

2

π)．
∴cos2θ=-

4 2

9

，∴tan2θ=

7 2

8

．

点评：本题考查了数量积运算、两角和差的余弦公式、基本关系式，属于基础题．