Question

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，

2

)，且长轴长与短轴长的比为

2

：1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C上在第一象限内的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B．求证：直线AB的斜率为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆C的方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，利用焦点为F(0，

2

)，且长轴长与短轴长的比为

2

：1，求出a，b，即可得出椭圆C的方程；
（2）设出直线PA、PB的方程与椭圆方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线AB的斜率为定值．

解答： （1）解：由已知可设椭圆C的方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)
依题意：

a

b

=

2

且a²=b²+2解得：a²=4b²=2
故椭圆C的方程为：

y2

4

+

x2

2

=1…（4分）
（2）证明：由（1）知：P （1，

2

）
由已知设PA：y-

2

=k(x-1)，即：y=kx-(k-

2

)
PB：y-

2

=-k(x-1)，即：y=-kx+(k+

2

)…（6分）
由

y=kx-(k- 2 ) 2x2+y2=4

得：（k²+2）x²-2k（k-

2

）x+k²-2

2

k-2=0
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）则：x1+1=

2k2-2 2 k

k2+2

故：x1=

k2-2 2 k-2

k2+2

同理：x2=

k2+2 2 k-2

k2+2

…（10分）
直线AB的斜率kAB=

y1-y2

x1-x2

=

k(x1+x2)-2k

x1-x2

=

k 2k2-4 k2+2 -2k

-4 2 k k2+2

=

-8k

-4 2 k

=

2

所以：直线AB的斜率为定值．                 …（12分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．