Question

已知直角坐标平面内点A（x，y）到点F₁（-1，0）与点F₂（1，0）的距离之和为4．
（1）试求点A的轨迹M的方程；
（2）若斜率为

1

2

的直线l与轨迹M交于C、D两点，点P(1，  

3

2

)为轨迹M上一点，记直线PC的斜率为k₁，直线PD的斜率为k₂，试问：k₁+k₂是否为定值？请证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题知|AF₁|+|AF₂|=4，|F₁F₂|=2，则|AF₁|+|AF₂|＞|F₁F₂|，由椭圆的定义知点A轨迹M是椭圆其中a=2，c=1，从而能求出椭圆M的方程．
（2）设直线l的方程为：y=

1

2

x+b，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），联立直线l的方程与椭圆方程，得x²+bx+b²-3=0，当△＞0时，即b²-4（b²-3）＞0，直线l与椭圆有两交点，由韦达定理，得：

x1+x2=-b x1•x2=b2-3

，由此能够得到k₁+k₂为定值．

解答： 解：（1）由题知|AF₁|+|AF₂|=4，|F₁F₂|=2，则|AF₁|+|AF₂|＞|F₁F₂|
由椭圆的定义知点A轨迹M是椭圆，其中a=2，c=1．
因为b²=a²-c²=3，
所以，轨迹M的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设直线l的方程为：y=

1

2

x+b，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
联立直线l'的方程与椭圆方程，消去y可得：3x2+4(

1

2

x+b)2=12，
化简得：x²+bx+b²-3=0
当△＞0时，即，b²-4（b²-3）＞0，也即|b|＜2时，直线l'与椭圆有两交点，
由韦达定理得：

x1+x2=-b x1•x2=b2-3

，
所以，k1=

y1- 3 2

x1-1

=

1 2 x1+b- 3 2

x1-1

，k2=

y2- 3 2

x2-1

=

1 2 x2+b- 3 2

x2-1

则k₁+k₂=

1 2 x1+b- 3 2

x1-1

+

1 2 x2+b- 3 2

x2-1

=

x1•x2+(b-2)(x1+x2)+3-2b

(x1-1)(x2-1)

=

b2-3+(b-2)(-b)+3-2b

(x1-1)(x2-1)

=0，
所以，k₁+k₂为定值．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高．