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    已知椭圆C的方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0），双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．
    （1）若l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；
    （2）求
    FA
    AP
    的最大值．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：综合题,圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）由题意，先由双曲线的性质得出a，b所满足的关系式a=
    		3
    b，再与a2+b2=22联立求出两者的值即可得出椭圆的方程；
    （2）由题意，联立l与l2的方程求出它们的交点P点的坐标，再令
    FA
    AP
    =λ，利用引入的参数表示出点A的坐标，由于点A在椭圆上，代入椭圆的方程结合椭圆的性质求出λ的取值范围，即可得出所求的最大值．
    解答： 解：（1）双曲线的渐近线为y=±
    b
    a
    x，两渐近线夹角为60°，又
    b
    a
    ＜1，∴∠POx=30°，
    ∴
    b
    a
    =tan 30°=
    		3
    3
    ，∴a=
    		3
    b．又a2+b2=22，
    ∴3b2+b2=4，
    ∴b2=1，a2=3，∴椭圆C的方程为
    x2
    3
    +y2=1，
    ∴离心率e=
    		a2-b2
    a
    =
    		6
    3
    ．
    （2）由已知，l：y=
    a
    b
    （x-c）与y=
    b
    a
    x联立，
    解方程组得P（
    a2
    c
    ，
    ab
    c
    ）．
    设
    FA
    AP
    =λ，则
    FA
    =λ
    AP
    ，∵F（c，0），设A（x0，y0），
    则（x0-c，y0）=λ(
    a2
    c
    -x0，
    ab
    c
    -y0)    ，
    ∴x0=
    c+λ×
    a2
    c
    1+λ
    ，y0=
    λ×
    ab
    c
    1+λ
    ．即A（
    c+λ×
    a2
    c
    1+λ
    ，
    λ×
    ab
    c
    1+λ
    ）．
    将A点坐标代入椭圆方程，得（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2，
    等式两边同除以a4，（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2，e∈（0，1），
    ∴λ2=
    e4-e2
    e2-2
    =-[2-e2+
    2
    2-e2
    ]    +3≤-2 
    		(2-e2)×
    2
    2-e2
    +3=3-2
    		2
    =（
    		2
    -1）2，
    ∴当2-e2=
    		2
    ，即e2=2-
    		2
    时，λ有最大值
    		2
    -1，即
    FA
    AP
    的最大值为
    		2
    -1．
    点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，此类题运算量大，综合性强，容易出错，解答时要严谨，避免变形出错导致解题失败
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    已知向量
    a
    =(cosx，sinx)    ，向量
    b
    =(cosx，-sinx)    ，f(x)=
    a
    •
    b

    （Ⅰ）求函数g（x）=f（x）+sin2x的最小正周期和对称轴方程；
    （Ⅱ）若x是第一象限角且3f（x）=-2f′（x），求tan(x+
    π
    4
    )    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若a+b=1（其中a＞0，b＞0），则
    1
    a
    +
    2
    b
    的最小值等于
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xOy中，P为不等式
    y≤1
    x+y-2≥0
    x-y-1≤0
    所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为（　　）
    A、2
    B、1
    C、
    1
    2
    D、
    1
    3

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=
    1
    		1-x
    的定义域为M，函数g（x）=lg（1+x）的定义域为N，则（　　）
    A、M∩N=（-1，1]
    B、M∩N=R
    C、∁RM=[1，+∞）
    D、∁RN=（-∞，-1）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=2sin（x-
    π
    6
    ）sin（x+
    π
    3
    ），x∈R．
    （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
    （Ⅱ）在△ABC中，若A=
    π
    4
    ，锐角C满足f（
    C
    2
    +
    π
    6
    ）=
    1
    2
    ，求
    BC
    AB
    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆C的方程为
    x2
    12
    +
    y2
    b2
    =1(b2＜12)    ，且长轴长与焦距之比为
    		3
    ：
    		2
    ，圆O的圆心在原点O，且经过椭圆C的短轴顶点．
    （1）求椭圆C和圆O的方程；
    （2）是否存在同时满足下列条件的直线l：
        ①与圆O相切与点M（M位于第一象限）；
        ②与椭圆C相交于A、B两点，使得
    OA
    •
    OB
    =2    ．若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，点P（0，-1）是椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中斜率为k的直线l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D
    （1）求椭圆C1的方程；
    （2）试用k表示△ABD的面积S；
    （3）求△ABD面积S取最大值时直线l1的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知直角坐标平面内点A（x，y）到点F1（-1，0）与点F2（1，0）的距离之和为4．
    （1）试求点A的轨迹M的方程；
    （2）若斜率为
    1
    2
    的直线l与轨迹M交于C、D两点，点P(1，  
    3
    2
    )    为轨迹M上一点，记直线PC的斜率为k1，直线PD的斜率为k2，试问：k1+k2是否为定值？请证明你的结论．

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