Question

已知动点P与平面上两定点A(-

3

，0)，B(

3

，0)连线的斜率的积为定值-

1

3

．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设动点P（x，y），由已知条件推导出

y

x+ 3

•

y

x- 3

=-

1

3

，由此能求出曲线的方程．
（2）假若存在这样的k值，由

y=kx+2 x2+3y2-3=0

，得（1+3k²）x²+12kx+9=0．由此利用根的判别式和韦达定理能求出存在k=

7

6

，使得以CD为直径的圆过点E．

解答： 解：（1）设动点P（x，y），
∵动点P与平面上两定点A(-

3

，0)，B(

3

，0)连线的斜率的积为定值-

1

3

，
∴

y

x+ 3

•

y

x- 3

=-

1

3

，x≠±

3

，
整理，得：x²+3y²=3，x≠±

3

，
∴所求曲线的方程为

x2

3

+y2=1．(x≠±

3

)
（2）假若存在这样的k值，
由

y=kx+2 x2+3y2-3=0

，得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0．①
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
则

x1+x2=- 12k 1+3k2 x1•x2= 9 1+3k2

，②
而y1•y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4．
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），
当且仅当CE⊥DE，
∴

y1

x1+1

•

y2

x2+1

=-1，即y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0．
∴（k²+1）x₁x₂+2（k+1）（x₁+x₂）+5=0．③
将②式代入③整理，解得k=

7

6

．
经验证，k=

7

6

，使①成立．
综上可知，存在k=

7

6

，使得以CD为直径的圆过点E．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点的判断，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．