Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c的图象为曲线E．
（1）若函数f（x）可以在x=-1和x=3时取得极值，求此时a，b的值；
（2）在满足（1）的条件下，f（x）＜2c在x∈[-2，6]恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的概念及应用

分析：（1）若函数f（x）可以在x=-1和x=3时取得极值，则f'（x）=3x²-2ax+b=0有两个解x=-1，x=3，易得a=3，b=-9．
（2）由（1）得f（x）=x³-3x²-9x+c，根据题意：c＞x³-3x²-9x（x∈[-2，6]）恒成立，令g（x）=x³-3x²-9x，令g′（x）=0，解得：x=-1，x=3，从而函数g（x）=x³-3x²-9x在[-2，-1）递增，（-1，3）递减，（3，6]递增，求出函数g（x）在x=-1时有极大值5且在端点x=6处的值为54，问题解决．

解答： 解：（1）若函数f（x）可以在x=-1和x=3时取得极值，
则f'（x）=3x²-2ax+b=0有两个解x=-1，x=3，
易得a=3，b=-9．
（2）由（1）得f（x）=x³-3x²-9x+c，
根据题意：c＞x³-3x²-9x（x∈[-2，6]）恒成立，
令g（x）=x³-3x²-9x，
∴g′（x）=3x²-6x-9，
令g′（x）=0，解得：x=-1，x=3，
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，在（-1，3）递减，
∴函数g（x）=x³-3x²-9x在[-2，-1）递增，（-1，3）递减，（3，6]递增，
∴函数g（x）在x=-1时有极大值5且在端点x=6处的值为54，
∴函数g（x）=x³-3x²-9x（x∈[-2，6]）的最大值为54，
∴c＞54．

点评：本题考察了函数的单调性，极值问题，导数的应用，是一道基础题．