Question

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求

TM

•

TN

的最小值；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求|OR|+|OS|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）依题意，得a=2，e=

c

a

=

3

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）点M与点N关于x轴对称，设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），设y₁＞0．由于点M在椭圆C上，y12=1-

x12

4

． 由已知T（-2，0），则

TM

=（x₁+2，y₁），

TN

=（x₁+2，-y₁），

TM

•

TN

=（x₁+2，y₁）•（x₁+2，-y₁）=

5

4

(x1+

8

5

)2-

1

5

．由此能求出圆T的方程．
（3）设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：y-sinα=

sinα-sinθ

2cosα-2cosθ

，由此能够证明|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4为定值．从而能求出|OR|+|OS|的最小值．

解答： 解：（1）依题意，得a=2，e=

c

a

=

3

2

，
∴c=

3

，b=

4-3

=1，
故椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．…（3分）
（2）点M与点N关于x轴对称，
设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），不妨设y₁＞0．
由于点M在椭圆C上，∴y12=1-

x12

4

． （*） …（4分）
由已知T（-2，0），则

TM

=（x₁+2，y₁），

TN

=（x₁+2，-y₁），
∴

TM

•

TN

=（x₁+2，y₁）•（x₁+2，-y₁）=（x₁+2）²-y12
=（x₁+2）²-（1-

x12

4

）=

5

4

x12+4x1+3
=

5

4

(x1+

8

5

)2-

1

5

．…（6分）
由于-2＜x₁＜2，
故当x1=-

8

5

时，

TM

•

TN

取得最小值为-

1

5

．
由（*）式，y1=

3

5

，故M（-

8

5

，

3

5

），
又点M在圆T上，代入圆的方程得到r²=

13

25

．
故圆T的方程为：（x+2）²+y²=

13

25

．…（8分）
（3）设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），
不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．
则直线MP的方程为：y-sinα=

sinα-sinθ

2cosα-2cosθ

，
令y=0，得xR=

2(sinαcosθ-cosαsinθ)

sinα-sinθ

，
同理：xS=

2(sinαcosθ+cosαsinθ)

sinα+sinθ

，…（12分）
故x_R•x_S=

4(sin2αcos2θ-cos2αsin2θ)

sin2α-sin2θ

．
∴|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4为定值．
∴|OR|+|OS|≥2

|OR|•|OS|

=4，
∴|OR|+|OS|的最小值是4．…（14分）

点评：本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、等价转化思想．