Question

已知函数f（x）=

3

sin（ωx+φ）+2sin²

ωx+φ

2

-1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为

π

2

．
（1）当x∈（-

π

2

，

π

4

）时，求f（x）的单调递减区间；
（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移

π

6

个单位长度，再把横坐标缩短到原来的

1

2

（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．当x∈[-

π

12

，

π

6

]时，求函数g（x）的值域．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）f（x）=2sin（ωx+φ+

π

6

），利用函数是奇函数，0＜φ＜π，且相邻两对称轴间的距离为

π

2

，即可求出当x∈（-

π

2

，

π

4

）时，f（x）的单调递减区间；
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y=g（x），即可求出当x∈[-

π

12

，

π

6

]时，求函数g（x）的值域．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin（ωx+φ）+2sin²

ωx+φ

2

-1=

3

sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ+

π

6

）
∵函数是奇函数，0＜φ＜π
∴φ=-

π

6

，
∴f（x）=2sinωx，
∵相邻两对称轴间的距离为

π

2

，
∴

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin2x，
∵x∈（-

π

2

，

π

4

），
∴2x∈（-π，

π

2

），
∴f（x）的单调递减区间为（-

π

2

，-

π

4

）；
（2）由题意，g（x）=2sin（x-

π

3

）．
当x∈[-

π

12

，

π

6

]时，x-

π

3

∈[-

5

12

π，-

π

6

]，
∴函数g（x）的值域为[-

2 + 6

2

，-1]．

点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．